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L-函數(shù)
復(fù)值函數(shù)
基本信息
| 中文名 | L-函數(shù) |
| 外文名 | L-functions |
| 用途 | Dirichlet級數(shù) |
| 編輯 | 黎曼猜想 |
定義
一般地，對于數(shù)學(xué)對象
，我們可定義復(fù)數(shù)列
，形如
且具有Euler乘積的Dirichlet級數(shù)，我們稱其為關(guān)于的
函數(shù)。
來源
一般地說，
-函數(shù)來源由兩類組成：算術(shù)L-函數(shù)和自守L-函數(shù)。這兩者又是密切聯(lián)系在一起的，根據(jù)羅伯特·朗蘭茲的猜想，籠統(tǒng)地說，一切有意義的L-函數(shù)都來自自守L-函數(shù)。
算術(shù)L-函數(shù)
簡單地說，
橢圓曲線的Haass-Weil L-函數(shù)：設(shè)
為一非奇異的橢圓曲線定義
為曲線在有限域
上的解，設(shè)
，則下面的級數(shù)稱為關(guān)于曲線的Haass-Weil L-函數(shù)
自守L-函數(shù)
全純模形式的L-函數(shù)，Maass L-函數(shù)，標準L-函數(shù)等等。
研究內(nèi)容
根據(jù)羅伯特·朗蘭茲在國際數(shù)學(xué)家大會上的報告所指，研究一個L-函數(shù)主要有三部分內(nèi)容：
解析延拓
L-函數(shù)的解析延拓和函數(shù)方程這是最基本的一部分。對于一般的自守L-函數(shù)這是較容易得到的，但是對算術(shù)的L-函數(shù)這一部分并不是容易得到的。例如，對于Haass-Weil L-函數(shù)，這部分就是谷山-志村猜想，該猜想一部分就能推出費爾馬大定理。關(guān)于阿廷L-函數(shù)的全純解析沿拓的阿廷猜想也是數(shù)論中重要的未知問題。
對于數(shù)學(xué)對象的L-函數(shù)，我們定義其的gamma因子為
其中
為復(fù)參數(shù)。
定義下面關(guān)于的完全-函數(shù)
其中
為模為1的復(fù)數(shù)，為
關(guān)于的對偶對象。
特殊點的值
中心值，臨界點，整點的值，極點的留數(shù)等。這里面也有很多猜想，像BSD猜想，類數(shù)問題，Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想。其實往往我們重要的不僅是關(guān)心它具體有多大，而是關(guān)心的這個量里面隱含著什么樣的算術(shù)意義。像Dedekind zeta 函數(shù)在
處的留數(shù)，里面包含了一個數(shù)域的很多不變量：類數(shù)，判別式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函數(shù)在中心點的的階就是該橢圓曲線的秩！
研究意義
對于一個研究對象如素數(shù)，伽羅瓦擴張，橢圓曲線，代數(shù)簇等等，我們可根據(jù)其性質(zhì)構(gòu)造出一個復(fù)變量的L-函數(shù)
。 -函數(shù)的解析性質(zhì)：零點和極點，函數(shù)方程，展開系數(shù)，特殊點的值等等，往往能夠充分反映的算術(shù)，幾何，或代數(shù)性質(zhì)。
三個公開問題
關(guān)于L-函數(shù)的研究，有許多未解決的公開問題，在這些問題中，尤以下面三個著名。
廣義Riemann猜想
廣義Lindelof猜想
在(3.1)的函數(shù)方程中，有猜想：
其中
為任意小的正實數(shù)。
廣義Ramanujan猜想
在(3.1)的函數(shù)方程中，猜想對非分歧的有
和
。
參考資料
[1]
關(guān)于L-函數(shù)的四次均值公式-《科學(xué)通報》1989年09期 · 中國知網(wǎng)[引用日期2021-11-01]
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