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黎曼猜想
1859年德國(guó)黎曼提出的假設(shè)
黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點(diǎn)分布的猜想，由數(shù)學(xué)家黎曼于1859年提出。希爾伯特在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了20世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的23個(gè)數(shù)學(xué)問題，被認(rèn)為是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的制高點(diǎn)，其中便包括黎曼假設(shè)?，F(xiàn)今克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的世界七大數(shù)學(xué)難題中也包括黎曼猜想。
與費(fèi)爾馬猜想時(shí)隔三個(gè)半世紀(jì)以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個(gè)半世紀(jì)以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個(gè)半世紀(jì)的紀(jì)錄還差得很遠(yuǎn)，但它在數(shù)學(xué)上的重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過這兩個(gè)大眾知名度更高的猜想。
黎曼猜想是當(dāng)今數(shù)學(xué)界最重要的數(shù)學(xué)難題。
基本信息
| 中文名 | 黎曼猜想 |
| 別名 | 黎曼假設(shè) |
| 外文名 | Riemann Hypothesis |
| 提出者 | 波恩哈德·黎曼 |
| 定義 | |
| 國(guó)家 | 德國(guó) |
| 分類 | 數(shù)學(xué) |
| 1859年 | 1859年 |
收起
簡(jiǎn)介
黎曼在1859年在論文《在給定大小之下的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》中做出這樣的猜想：
函數(shù)位于
之間的全部零點(diǎn)都在
之上，即零點(diǎn)的實(shí)部都是
，這至今仍是未解決的問題。
學(xué)術(shù)論證
素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布問題在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)上都是很重要的問題。素?cái)?shù)在自然數(shù)域中分布并沒有一定規(guī)則。黎曼發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率與所謂黎曼ζ函數(shù)緊密相關(guān)。黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)都在線 \operatorname z = rac 上。
格奧爾格·弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪?/div>
1901年數(shù)學(xué)家Koch指出，黎曼猜想與敘述
現(xiàn)在已經(jīng)驗(yàn)證了最初的1,500,000,000個(gè)解，猜想都是正確的。但是否對(duì)所有解是正確的，卻沒有證明，隨著費(fèi)馬最后定理的獲證，黎曼猜想作為最困難的數(shù)學(xué)問題的地位更加突出。
2000年，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所將它們?cè)O(shè)為“千年大獎(jiǎng)問題”，每個(gè)難題懸賞100萬美元征求證明。
猜想來源
黎曼猜想是黎曼1859年提出的，這位數(shù)學(xué)家于1826年出生在一座如今屬于德國(guó)，當(dāng)時(shí)屬于漢諾威王國(guó)的名叫布列斯倫茨的小鎮(zhèn)。1859年，黎曼被選為了柏林科學(xué)院的通信院士。作為對(duì)這一崇高榮譽(yù)的回報(bào)，他向柏林科學(xué)院提交了一篇題為“論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。
黎曼那篇論文所研究的是一個(gè)數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期以來就很感興趣的問題，即素?cái)?shù)的分布。素?cái)?shù)是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數(shù)整除的數(shù)。這些數(shù)在數(shù)論研究中有著極大的重要性，因?yàn)樗写笥?的正整數(shù)都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們?cè)跀?shù)論中的地位類似于物理世界中用以構(gòu)筑萬物的原子。素?cái)?shù)的定義簡(jiǎn)單得可以在中學(xué)甚至小學(xué)課上進(jìn)行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數(shù)學(xué)家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解
黎曼論文的一個(gè)重大的成果，就是發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)分布的奧秘完全蘊(yùn)藏在一個(gè)特殊的函數(shù)之中，尤其是使那個(gè)函數(shù)取值為零的一系列特殊的點(diǎn)對(duì)素?cái)?shù)分布的細(xì)致規(guī)律有著決定性的影響。那個(gè)函數(shù)如今被稱為黎曼ζ函數(shù)，那一系列特殊的點(diǎn)則被稱為黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。
有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡(jiǎn)練，甚至簡(jiǎn)練得有些過分，因?yàn)樗撕芏唷白C明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應(yīng)該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費(fèi)了后世數(shù)學(xué)家們幾十年的努力才得以補(bǔ)全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數(shù)不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個(gè)他明確承認(rèn)了自己無法證明的命題，那個(gè)命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“誕生”以來，已過了一百五十多個(gè)春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數(shù)數(shù)學(xué)家前去攀登，卻誰也沒能登頂。
當(dāng)然，如果僅從時(shí)間上比較的話，黎曼猜想的這個(gè)紀(jì)錄跟費(fèi)爾馬猜想時(shí)隔三個(gè)半世紀(jì)以上才被解決，以及哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個(gè)半世紀(jì)以上屹立不倒相比，還差得很遠(yuǎn)。但黎曼猜想在數(shù)學(xué)上的重要性卻要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過這兩個(gè)大眾知名度更高的猜想。有人統(tǒng)計(jì)過，在當(dāng)今數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中已有超過一千條數(shù)學(xué)命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數(shù)學(xué)命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數(shù)學(xué)命題中起碼有一部分將成為陪葬。一個(gè)數(shù)學(xué)猜想與為數(shù)如此眾多的數(shù)學(xué)命題有著密切關(guān)聯(lián)，這是極為罕有的。
猜想內(nèi)容
黎曼觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ()的性態(tài)。黎曼假設(shè)斷言，方程
的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過。黎曼ζ函數(shù)ζ(s)是級(jí)數(shù)表達(dá)式黎曼猜想在復(fù)平面上的解析延拓。之所以要對(duì)這一表達(dá)式進(jìn)行解析延拓，是因?yàn)檫@一表達(dá)式只適用于復(fù)平面上s的實(shí)部
的區(qū)域（否則級(jí)數(shù)不收斂）。黎曼找到了這一表達(dá)式的解析延拓（當(dāng)然黎曼沒有使用“解析延拓”這樣的現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論術(shù)語）。運(yùn)用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ函數(shù)可以表示為：黎曼猜想這里我們采用的是歷史文獻(xiàn)中的記號(hào)，式中的積分實(shí)際是一個(gè)環(huán)繞正實(shí)軸進(jìn)行的圍道積分（即從
出發(fā)，沿實(shí)軸上方積分至原點(diǎn)附近，環(huán)繞原點(diǎn)積分至實(shí)軸下方，再沿實(shí)軸下方積分至
，而且離實(shí)軸的距離及環(huán)繞原點(diǎn)的半徑均趨于0)，按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)記號(hào)應(yīng)記成：其中積分路徑C跟上面所述相同，環(huán)繞正實(shí)軸，可以形象地這樣表示：式中的Γ函數(shù)Γ(s)是階乘函數(shù)在復(fù)平面上的推廣，對(duì)于正整數(shù)
。可以證明，這一積分表達(dá)式除了在
處有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)外在整個(gè)復(fù)平面上解析。這就是黎曼ζ函數(shù)的完整定義。
運(yùn)用上面的積分表達(dá)式可以證明，黎曼ζ函數(shù)滿足以下代數(shù)關(guān)系式：從這個(gè)關(guān)系式中不難發(fā)現(xiàn)，黎曼ζ函數(shù)在
(n為正整數(shù)）取值為零-因?yàn)?/span>
為零。復(fù)平面上的這種使黎曼ζ函數(shù)取值為零的點(diǎn)被稱為黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)。因此
（n為正整數(shù)）是黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)。這些零點(diǎn)分布有序、性質(zhì)簡(jiǎn)單，被稱為黎曼ζ函數(shù)的平凡零點(diǎn)(trivialzero)。除了這些平凡零點(diǎn)外，黎曼ζ函數(shù)還有許多其它零點(diǎn)，它們的性質(zhì)遠(yuǎn)比那些平凡零點(diǎn)來得復(fù)雜，被稱為非平凡零點(diǎn)(non-trivialzeros)。
黎曼猜想提出：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上
的直線上。也即方程ζ(s)=0的解的實(shí)部都是。在黎曼猜想的研究中，數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上
的直線稱為criticalline（臨界線）。運(yùn)用這一術(shù)語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于criticalline上。猜想驗(yàn)證進(jìn)展荷蘭三位數(shù)學(xué)家J．vandeLune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用電子計(jì)算機(jī)來檢驗(yàn)黎曼的假設(shè)，他們對(duì)最初的二億個(gè)齊打函數(shù)的零點(diǎn)檢驗(yàn)，證明黎曼的假設(shè)是對(duì)的，他們?cè)?981年宣布他們的結(jié)果，目前他們還繼續(xù)用電子計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)底下的一些零點(diǎn)。1982年11月蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗(yàn)一個(gè)與黎曼猜想有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。
1975年美國(guó)麻省理工學(xué)院的萊文森在他患癌癥去世前證明了
。
1980年中國(guó)數(shù)學(xué)家樓世拓、姚琦對(duì)萊文森的工作有一點(diǎn)改進(jìn)，他們證明了
。
1932年C.L.Siegel發(fā)表的文章中，有下面這樣一個(gè)公式：文章的作者根據(jù)這個(gè)公式的幾何意義以及cos函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)，直接推導(dǎo)出來
，即證明了區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)全部落在臨界線上。C.L.Siegel從黎曼的遺稿中共整理出來四個(gè)公式，其中有三個(gè)公式在文獻(xiàn)和教科書中經(jīng)常出現(xiàn)，唯獨(dú)上面這個(gè)公式，80多年來很少有文獻(xiàn)提到它，就連C.L.Siegel本人對(duì)于這個(gè)公式的作用也大惑不解。實(shí)際上，只要跳出解析數(shù)論來看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用復(fù)分析的幾何思想嚴(yán)格的證明了現(xiàn)代所說的“黎曼猜想”。這也許是數(shù)學(xué)史上最大的冤案。
人物簡(jiǎn)介
黎曼(Riemann，GeorgeFriedrichBernhard，1826-1866，德國(guó)數(shù)學(xué)家）是黎曼幾何的創(chuàng)始人。他在讀博士學(xué)位期間，研究的是復(fù)變函數(shù)。他把通常的函數(shù)概念推廣到多值函數(shù)，并引進(jìn)了多葉黎曼曲面的直觀概念。他的博士論文受到了高斯的贊揚(yáng)，也是他此后十年工作的基礎(chǔ)，包括：復(fù)變函數(shù)在Abel積分和theta函數(shù)中的應(yīng)用，函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示，微分幾何基礎(chǔ)等。
黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在證明素?cái)?shù)定理的過程中，黎曼提出了一個(gè)論斷：Zeta函數(shù)的零點(diǎn)都在直線
上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因?yàn)檫@對(duì)他證明素?cái)?shù)定理影響不大。但這一問題至今仍然未能解決，甚至于比此假設(shè)簡(jiǎn)單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問題都依賴于黎曼假設(shè)。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設(shè)更是影響深遠(yuǎn)。若能證明黎曼假設(shè)，則可帶動(dòng)許多問題的解決。
等價(jià)定理
1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜想與強(qiáng)條件的素?cái)?shù)定理等價(jià)。
黎曼猜想疑似解決
11月17日，尼日利亞教授奧派耶米·伊諾克(OpeyemiEnoch)宣稱成功解決已存在156年的數(shù)學(xué)難題——黎曼猜想，然而克雷數(shù)學(xué)研究所既不證實(shí)也不否認(rèn)伊諾克博士正式解決了這一問題。伊諾克博士在尼日利亞某大學(xué)任教。他表示，自己在2010年取得關(guān)鍵性突破，這為后來能夠解決這一千年難題奠定了基礎(chǔ)。他說，自己之所以決定解決這一著名的數(shù)學(xué)難題不是為了獎(jiǎng)金，而是因?yàn)樽约旱膶W(xué)生。正是因?yàn)閷W(xué)生們相信自己，他才開始嘗試解決這一數(shù)學(xué)難題。如果派耶米·伊諾克的證明被驗(yàn)證，他將獲得100萬美金，但克雷數(shù)學(xué)研究所官網(wǎng)目前并沒有做出回應(yīng)，類似的宣稱證明黎曼猜想的事件歷史曾多次發(fā)生。
相關(guān)介紹
格奧爾格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德國(guó)數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，其中一些為廣義相對(duì)論的發(fā)展鋪平了道路。他的名字出現(xiàn)在黎曼ζ函數(shù)，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，黎曼思路回環(huán)矩陣和黎曼曲面中。黎曼出生于漢諾威王國(guó)（今德國(guó)下薩克森）的小鎮(zhèn)布列斯倫茨（Breselenz）。他的父親弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪钱?dāng)?shù)氐穆返聲?huì)牧師。他在六個(gè)孩子中排行第二。
具體內(nèi)容
黎曼觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài)。黎曼假設(shè)斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過。
黎曼ζ 函數(shù) ζ(s) 是級(jí)數(shù)表達(dá)式
在復(fù)平面上的解析延拓。
之所以要對(duì)這一表達(dá)式進(jìn)行解析延拓，是因?yàn)檫@一表達(dá)式只適用于復(fù)平面上 s 的實(shí)部 
的區(qū)域（否則級(jí)數(shù)不收斂）。黎曼找到了這一表達(dá)式的解析延拓（當(dāng)然黎曼沒有使用“解析延拓”這樣的現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論術(shù)語）。運(yùn)用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ 函數(shù)可以表示為：
這里我們采用的是歷史文獻(xiàn)中的記號(hào)，式中的積分實(shí)際是一個(gè)環(huán)繞正實(shí)軸進(jìn)行的圍道積分（即從 出發(fā)，沿實(shí)軸上方積分至原點(diǎn)附近，環(huán)繞原點(diǎn)積分至實(shí)軸下方，再沿實(shí)軸下方積分至 ，而且離實(shí)軸的距離及環(huán)繞原點(diǎn)的半徑均趨于 0)，按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)記號(hào)應(yīng)記成：
其中積分路徑C跟上面所述相同，環(huán)繞正實(shí)軸，可以形象地這樣表示：
式中的 Γ 函數(shù) Γ(s) 是階乘函數(shù)在復(fù)平面上的推廣，對(duì)于正整數(shù)
?？梢宰C明，這一積分表達(dá)式除了在
處有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)外在整個(gè)復(fù)平面上解析。這就是黎曼ζ 函數(shù)的完整定義。
運(yùn)用上面的積分表達(dá)式可以證明，黎曼ζ 函數(shù)滿足以下代數(shù)關(guān)系式：
從這個(gè)關(guān)系式中不難發(fā)現(xiàn)，黎曼ζ 函數(shù)在 (n 為正整數(shù)）取值為零 - 因?yàn)?/span>
為零。復(fù)平面上的這種使黎曼ζ 函數(shù)取值為零的點(diǎn)被稱為黎曼ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。因此 （n 為正整數(shù)）是黎曼ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。這些零點(diǎn)分布有序、性質(zhì)簡(jiǎn)單，被稱為黎曼ζ 函數(shù)的平凡零點(diǎn) (trivial zero)。除了這些平凡零點(diǎn)外，黎曼ζ 函數(shù)還有許多其它零點(diǎn)，它們的性質(zhì)遠(yuǎn)比那些平凡零點(diǎn)來得復(fù)雜，被稱為非平凡零點(diǎn) (non-trivial zeros)。
黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上 的直線上，也即方程的解的實(shí)部都是。
在黎曼猜想的研究中，數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上 的直線稱為 critical line（臨界線）。運(yùn)用這一術(shù)語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于 critical line 上。
黎曼猜想
等價(jià)定理
1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想與強(qiáng)條件的素?cái)?shù)定理等價(jià)。
驗(yàn)證進(jìn)展
荷蘭三位數(shù)學(xué)家J．van de Lune，H．J．Riele te以及D．T．Winter利用電子計(jì)算機(jī)來檢驗(yàn)黎曼的假設(shè)，他們對(duì)最初的2億個(gè)zeta函數(shù)的零點(diǎn)檢驗(yàn)。
1982年11月蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布。
1975年美國(guó)麻省理工學(xué)院的萊文森在他患癌癥去世前證明了。
1980年中國(guó)數(shù)學(xué)家樓世拓、姚琦對(duì)萊文森的工作有一點(diǎn)改進(jìn)，他們證明了。
1932年C.L.Siegel發(fā)表的文章中，有下面這樣一個(gè)公式：文章 的作者根據(jù)這個(gè)公式的幾何意義以及cos函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)，直接推導(dǎo)出來，即證明了區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)全部落在臨界線上。
黎曼用復(fù)分析的幾何思想嚴(yán)格地證明了現(xiàn)代所說的“黎曼猜想”。這也許是數(shù)學(xué)史上最大的冤案。
英國(guó)《每日郵報(bào)》2015年11月17日?qǐng)?bào)道，尼日利亞教授奧派耶米 伊諾克(Opeyemi Enoch)成功解決已存在156年的數(shù)學(xué)難題——黎曼猜想，獲得100萬美元(約合人民幣630萬元)的獎(jiǎng)金。
然而，克萊數(shù)學(xué)研究所既不證實(shí)也不否認(rèn)伊諾克博士正式解決了這一問題，只是簡(jiǎn)單表示對(duì)這些千年數(shù)學(xué)難題的解決辦法不予評(píng)論。
2018年9月，邁克爾·阿蒂亞聲明證明黎曼猜想，將于9月24日海德堡獲獎(jiǎng)?wù)?a class="dict" href="/know/2764868/">論壇上宣講。 9月24日，邁克爾·阿蒂亞貼出了他證明黎曼假設(shè)（猜想）的預(yù)印本，但這一證明的正確性尚待驗(yàn)證。
黎曼猜想至今尚未被成功證明。
參考資料
[1]
偶社網(wǎng)：黎曼猜想生平簡(jiǎn)介[引用日期2010-01-11]
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒寫！
作者
