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隨機矩陣
描述馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)變的矩陣
在數(shù)學中，隨機矩陣（也稱為概率矩陣、轉(zhuǎn)移矩陣、替代矩陣、或馬爾可夫矩陣）是用來描述一個馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)變的矩陣。它的每一項都是一個表示概率的非負實數(shù)。它適用于概率論、統(tǒng)計學和線性代數(shù)，也在計算機科學和群體遺傳學中使用。
基本信息
| 中文名 | 隨機矩陣 |
| 外文名 | Stochastic Matrix |
| 別名 | 概率矩陣 轉(zhuǎn)移矩陣 替代矩陣 馬爾可夫矩陣 |
| 應用學科 | 概率論、統(tǒng)計學和線性代數(shù) |
| 作用 | 用來描述馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)變的矩陣 |
| 所屬領(lǐng)域 | 計算機科學和群體遺傳學 |
收起
定義
隨機矩陣描述了在一個有限狀態(tài)空間S上的馬爾可夫鏈。
隨機矩陣
由于從狀態(tài) i 到下一狀態(tài)的概率總和必須是 1，這個矩陣是一個右隨機矩陣，于是
從i 到 j分兩步轉(zhuǎn)變的概率由然后由給定的P的平方矩陣的(i,j)號元素給出：
隨機矩陣
一般地，在由矩陣P給出的有限馬爾可夫鏈上從任何狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)的 步轉(zhuǎn)移概率為P。初始分布為一個行向量。平穩(wěn)概率向量 定義為不隨轉(zhuǎn)移矩陣的運用而變化的一個向量；也就是說，它定義為概率矩陣的左特征向量，其特征值為1：
佩龍一弗羅賓尼斯定理保證了每個隨機矩陣都具有這樣的向量，而特征值的最大絕對值始終為1。在一般情況下，可能有多個這樣的向量。然而，對于具有嚴格正項的矩陣，該向量是唯一的，并可以觀察到對任意i我們都有以下極限而求出，
其中 是行向量 的第j 個元素。在其他方面，這表示處在狀態(tài) j下的長期概率與初始狀態(tài) i是獨立的。這兩種計算得到相同的穩(wěn)定向量是遍歷定理的一種形式，在各種各樣的耗散動力系統(tǒng)廣泛成立：該系統(tǒng)隨著時間演變到定態(tài)。
直觀地看，隨機矩陣表示一個馬爾可夫鏈；對概率分布應用隨機矩陣，就是將原始分布的概率質(zhì)量進行重新分布，同時保持其總質(zhì)量。如果反復應用此過程，分布就會收斂為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。
設A、B為二個n×n階轉(zhuǎn)移矩陣，則以下亦為轉(zhuǎn)移矩陣:AB、A、1/2(A+B)。
隨機矩陣
分類
應用
轉(zhuǎn)移矩陣可用以表示機率(或變化比率)，而矩陣相乘的結(jié)果可用以預測未來事件發(fā)生的機率。
范例
假設你有一個計時器和五個相鄰的格子排成一行，零時刻有一只貓在第一個格子中，而一只老鼠在第五個格子中。在計時器增加的時候貓和老鼠都會隨機跳到一個相鄰的格子中。例如，如果貓在第二個格子，老鼠在第四個，在計時器增加后，貓會出現(xiàn)在第一個格子 且老鼠會出現(xiàn)在第五個格子的概率為1/4。如果貓在第一個格子而老鼠在第五個，那么計時器增加后，貓會出現(xiàn)在第二個格子且老鼠會出現(xiàn)在第四個的概率為1。當它們處于同一個格子的時候，貓會吃掉老鼠，游戲結(jié)束。隨機變量K給出了老鼠仍留在游戲中的時間步長。
表示這個包含五種位置組合 (貓，鼠) 的狀態(tài)的游戲的馬爾可夫鏈為：
?狀態(tài) 1：(1,3)
?狀態(tài) 2：(1,5)
?狀態(tài) 3：(2,4)
?狀態(tài) 4：(3,5)
?狀態(tài) 5：游戲結(jié)束：(2,2), (3,3) & (4,4).
我們使用一個隨機矩陣來表示這個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率（這個矩陣中的行和列用上面提到的可能狀態(tài)來索引），
長期平均
無論初始狀態(tài)是什么，貓最終都會抓到老鼠（概率為1），且極限為穩(wěn)態(tài) π= (0,0,0,0,1)。要計算隨機變量 Y 的長期平均或期望值。對每種狀態(tài) S和時間 t，都有 Y·P(S=S,t=t) 的貢獻。生存與否可以視作一個二值變量，Y=1 代表生存狀態(tài)而 Y=0 代表終止狀態(tài)。Y=0 的狀態(tài)不對長期平均有貢獻。
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