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超越數(shù)論（超越數(shù)論）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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超越數(shù)論

超越數(shù)論是以超越數(shù)為研究對(duì)象的數(shù)論分支之一。

基本信息

外文名	Beyond number theory
分類	代數(shù)數(shù) 超越數(shù)
學(xué)科	數(shù)論
證明者	法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾
研究方向	數(shù)的超越性

正文

以超越數(shù)為研究對(duì)象的數(shù)論分支之一。全體復(fù)數(shù)可分為兩大類：代數(shù)數(shù)和超越數(shù)。如一個(gè)復(fù)數(shù)是某個(gè)系數(shù)不全為零的整系數(shù)多項(xiàng)式的根，則稱此復(fù)數(shù)為代數(shù)數(shù)。不是代數(shù)數(shù)的復(fù)數(shù)，叫做超越數(shù)。J.劉維爾開創(chuàng)了對(duì)超越數(shù)的研究，他發(fā)現(xiàn)無理代數(shù)數(shù)的有理數(shù)逼近的精密性有一個(gè)限度，借此他于1844年構(gòu)造出歷史上第一批超越數(shù)，例如

超越數(shù)論

對(duì)g=2,3,…都是超越數(shù)。早在1844年以前的一個(gè)世紀(jì)里，對(duì)無理數(shù)的研究已成為一個(gè)注意焦點(diǎn)。1744年,L.歐拉證明了自然對(duì)數(shù)的底e是無理數(shù)。1761年，J.H.朗伯證明了圓周率π是無理數(shù)。

1873年，C.埃爾米特證明了e是超越數(shù)，從而使超越數(shù)論進(jìn)入一個(gè)新階段。1882年,F.von林德曼推廣了埃爾米特的方法，證明了π 是超越數(shù)，從而解決了古希臘的“化圓為方”問題。

19世紀(jì)超越數(shù)論的最高成就，是林德曼-外爾施特拉斯定理：如果α1,α2,…,αn是兩兩不同的代數(shù)數(shù)，β1,β2，…,βn是非零代數(shù)數(shù)，則

超越數(shù)論

(1)

由此可以導(dǎo)出，如果α1，α2,…,αn在無理數(shù)域Q上線性無關(guān)，則

超越數(shù)論

代數(shù)無關(guān)（即它們不適合任一其系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式方程）。由(1)可知，如α是非零代數(shù)數(shù)，則sinα，cosα，tanα都是超越數(shù)；如α是不等于0和1的代數(shù)數(shù)，則自然對(duì)數(shù)lnα是超越數(shù)。

1900年,D.希爾伯特提出的23個(gè)問題中的第7問題是：如果α是不等于0和1的代數(shù)數(shù)，β是無理代數(shù)數(shù)，那么αβ是否超越數(shù)？D.希爾伯特曾預(yù)言，這個(gè)問題的解決將遲于黎曼猜想和費(fèi)馬大定理。A.O.蓋爾豐德于1929年證明了：若α是不等于零和1的代數(shù)數(shù),β是二次復(fù)代數(shù)數(shù)，則αβ是超越數(shù)，特別地,

超越數(shù)論

是超越數(shù)。P.O.庫(kù)茲明于1930年把這個(gè)結(jié)果推廣到β是二次實(shí)代數(shù)數(shù)的情形，特別地,

超越數(shù)論

是超越數(shù)。1934年,A.O.蓋爾豐德和T.施奈德獨(dú)立地對(duì)希爾伯特第7問題作出了肯定回答，此即所謂蓋爾豐德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理數(shù)，則常用對(duì)數(shù)lgα不是有理數(shù)，便是超越數(shù)；更一般地，對(duì)非零代數(shù)數(shù)α1,α2,β1,β2,若lnα1,lnα2在Q上線性無關(guān)，則

超越數(shù)論

1966年A.貝克把這個(gè)結(jié)果推廣到任意多個(gè)對(duì)數(shù)的情形，證明了下述重要結(jié)果：若α1,α2,…,αn是非零代數(shù)數(shù)，且lnα1,…,lnαn在Q上線性無關(guān)，則1,lnα1,…,lnαn在所有代數(shù)數(shù)所成的域坴上線性無關(guān)。其推論有:①若代數(shù)數(shù)的對(duì)數(shù)線性組合（其系數(shù)為代數(shù)數(shù)）不等于零，則必為超越數(shù)。②若α1,α2,…,αn,β0,β1,…,βn是非零代數(shù)數(shù)，則

超越數(shù)論

是超越數(shù)。③若 α1,α2,…,αn是不為0和1的代數(shù)數(shù)，β1,β2,…,βn是代數(shù)數(shù)，且1，β1,β2,…，βn在Q上線性無關(guān)，則

超越數(shù)論

是超越數(shù)。A.貝克的理論還有定量形式，對(duì)數(shù)論許多分支有著重要應(yīng)用。例如，第一次對(duì)幾類很廣的不定方程給出解的絕對(duì)值的有效上界，以及用以定出所有類數(shù)為 1和 2的虛二次域。前者是對(duì)于希爾伯特第10問題的肯定方面的實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)。1970年A.貝克獲費(fèi)爾茲獎(jiǎng)。

代數(shù)數(shù)的有理逼近是超越數(shù)論的重要課題（見丟番圖逼近）。由林德曼－外爾施特拉斯定理發(fā)展而成的西格爾-希德洛夫斯基理論，對(duì)于證明一類適合線性微分方程組的冪級(jí)數(shù)的值的代數(shù)無關(guān)性，建立了一般的方法。例如，令

超越數(shù)論

若λ是異于負(fù)整數(shù)和

超越數(shù)論

的有理數(shù)，則對(duì)于任何非零代數(shù)數(shù)α，Kλ(α)和K懁(α)代數(shù)無關(guān)。

超越數(shù)的測(cè)度理論是超越數(shù)論的又一個(gè)重要內(nèi)容。1874年，G.康托爾引進(jìn)了可數(shù)性的概念，而導(dǎo)致了“幾乎所有”的實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）都是超越數(shù)的結(jié)論。1965年，Β.Γ.普林茹克證明了K.馬勒爾在1932年提出的猜想：對(duì)于幾乎所有的實(shí)數(shù)θ、任意的正整數(shù)n 和正數(shù)ε，至多有有限多個(gè)n次整系數(shù)多項(xiàng)式p(x)，使得

超越數(shù)論

其中h是p(x)的諸系數(shù)的絕對(duì)值的最大值。

超越數(shù)論的最新發(fā)展使用著來自交換代數(shù)、代數(shù)幾何、多復(fù)變函數(shù)論、甚至上同調(diào)理論的方法，正處于活躍之時(shí)。許多著名問題，例如，沙魯爾猜測(cè)：若復(fù)數(shù)ζ1,…,ζn在Q上線性無關(guān)，則由

超越數(shù)論

在Q上生成的域的超越次數(shù)至少為n，及其特例關(guān)于e和π的代數(shù)無關(guān)性（甚或看來似乎容易得多的e＋π的超越性），以及歐拉常數(shù)

超越數(shù)論

的超越性的猜測(cè)，至今都未解決。

參考書目

華羅庚著：《數(shù)論導(dǎo)引》，科學(xué)出版社，北京，1957。

A.Baker,Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, 1975.

A.Baker and D.W.Masser, ed.,Transcendence Theory:Advances and Applications, Academic Press, New York,1977.

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