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格點問題
研究區(qū)域中格點個數(shù)的問題
格點，又稱整點，指坐標(biāo)都是整數(shù)的點，格點問題就是研究一些特殊區(qū)域甚至一般區(qū)域中的格點的個數(shù)的問題。
基本信息
| 中文名 | 格點問題 |
| 外文名 | problem on lattice point |
| 別名 | 整點問題 |
| 性質(zhì) | 研究特殊區(qū)域 |
起源
格點問題起源于以下兩個問題的研究：
其他相關(guān)信息
或稱整點問題，研究一些特殊區(qū)域甚至一般區(qū)域中的格點的個數(shù)。格點又稱整點，是指坐標(biāo)均為整數(shù)的點。格點問題是數(shù)論中的一類重要問題，起源于以下兩個著名問題的研究：①狄利克雷除數(shù)問題。設(shè)
表區(qū)域
上的格點個數(shù)。1849年，P.G.L.狄利克雷證明了
，這里
,у是歐拉常數(shù)。這一問題的目的是要求出使余項估計
成立的λ的下確界θ。因為
,其中
是除數(shù)函數(shù)，所以把這一格點問題稱為狄利克雷除數(shù)問題。 ②圓內(nèi)格點問題。設(shè)
表圓
上的格點數(shù)。C.F.高斯證明了 
,這里
。
求使余項估計算
成立的λ的下確界α的問題, 稱為圓內(nèi)格點問題或高斯圓問題。顯有
,這里
是
的全體整數(shù)解的個數(shù)。利用初等方法,1903年,Γ.Ф.沃羅諾伊證明了
；1906年,W.謝爾平斯基證明了
；利用較深的分析方法，1922～1937年，J.G.范·德·科普特首先證明了
；1934～1935年，E.C.蒂奇馬什證明了
；1942年，華羅庚證明了
；1963年，陳景潤、尹文霖證明了
；1950年遲宗陶和1953年H.-E.里歇先后證明了
，他們所用的方法都是閔嗣鶴提出的;1963年，尹文霖證明了
；1985年, Γ.Α. 科列斯尼克證明了
，1985年,W.G.諾瓦克證明了
。另一方面,1916年G.H.哈代已證明
；1940年，A.E.英厄姆已證明
。一些數(shù)學(xué)家還對余項
的均值做了估計。猜測
,但是至今未能證明。這兩個問題的直接推廣是k維除數(shù)問題、球內(nèi)格點問題以及k 維橢球內(nèi)的格點問題等。對一般格點問題也有不少研究。關(guān)于這些問題中國數(shù)學(xué)家做了不少工作。直到2007年Sylvain E. Cappell and Julius L. Shaneson在著名的預(yù)印本網(wǎng)站arxiv發(fā)表論 文《some problems in number theory 1：the circle problem》，聲稱他們已解決這個問題。
關(guān)于一般平面區(qū)域的格點問題，M.V.賈爾尼科推廣高斯的方法后于1924年證明了：設(shè)Г是可求長的約當(dāng)閉曲線，其長為l，其所圍面積為 A；N是Г內(nèi)及其上的格點數(shù)，則有
。
整點問題舉例
·平面上任何4n-3個整點中必可取出n個整點使其重心仍為整點?
·1983年Kemnitz猜想，用初等方法是無法解決這一困難猜想的。
·2000年有人使用代數(shù)方法成功地證明
換成
時猜想正確。
·2003年德國Reiher(bornApril 19, 1984)出人意料地將代數(shù)方法與組合方法巧妙地結(jié)合起來，攻下有20年之久的Kemnitz猜想
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