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算術(shù)基本定理
歐幾里得提出的數(shù)學(xué)定理
基本信息
| 中文名 | 算術(shù)基本定理 |
| 外文名 | Fundamental Theorem of Arithmetic |
| 別名 | 正整數(shù)的唯一分解定理 |
| 提出者 | |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 數(shù)學(xué) |
| 適用領(lǐng)域 | 交換代數(shù)和代數(shù)數(shù)論等 |
收起
定理內(nèi)容
任何一個大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個質(zhì)數(shù)的乘積 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 這里P_1 <... 質(zhì)數(shù)，其諸方冪 ai 是正整數(shù)。
這樣的分解稱為N 的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
定理證明
大于1的自然數(shù)必可寫成素數(shù)之積
自然數(shù)可以根據(jù)其 可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數(shù)的乘積）分成3類：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。首先，按照定義， n 大于1。其次， n 不是質(zhì)數(shù)，因為質(zhì)數(shù)p可以寫成質(zhì)數(shù)乘積：p=p，這與假設(shè)不相符合。因此n只能是合數(shù)，但每個合數(shù)都可以分解成兩個嚴(yán)格小于自身而大于1的自然數(shù)的積。設(shè)其中 a 和 b 都是介于1和 n 之間的自然數(shù)，因此，按照 n 的定義， a 和 b 都都可以寫成質(zhì)數(shù)的乘積。從而
也可以寫成質(zhì)數(shù)的乘積。由此產(chǎn)生矛盾。因此大于1的自然數(shù)必可寫成質(zhì)數(shù)的乘積。
唯一性
引理的證明：若 p | a 則證明完畢。若，那么兩者的最大公約數(shù)為1。根據(jù)裴蜀定理，存在( m, n) 使得 ma + np = 1。于是 b = b( ma + np) = abm + bnp。由于 p | ab，上式右邊兩項都可以被 p整除。所以 p | b。
再用反證法：假設(shè)有些大于1的自然數(shù)可以以多于一種的方式寫成多個質(zhì)數(shù)的乘積，那么假設(shè) n 是最小的一個。
根據(jù)引理，質(zhì)數(shù)
所以中有一個能被 p1整除，不妨設(shè)為 q1。但 q1也是質(zhì)數(shù)，因此 q1 = p1 。所以，比n小的正整數(shù)也可以寫成這與 n 的最小性矛盾！
因此唯一性得證。
定理應(yīng)用
（1）一個大于1的正整數(shù)N，如果它的標(biāo)準(zhǔn)分解式為： N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an)
那么它的正 因數(shù)個數(shù)為（1+a1)(1+a2).....(1+an)。
（5）證明素數(shù)個數(shù)無限。
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