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分形
本詞條是多義詞，共4個(gè)義項(xiàng)
幾何學(xué)術(shù)語
分形，具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。通常被定義為“一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質(zhì)。分形（Fractal）一詞，是芒德勃羅創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義。1973年，芒德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形的設(shè)想。
分形是一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語，也是一套以分形特征為研究主題的數(shù)學(xué)理論。分形理論既是非線性科學(xué)的前沿和重要分支，又是一門新興的橫斷學(xué)科，是研究一類現(xiàn)象特征的新的數(shù)學(xué)分科，相對(duì)于其幾何形態(tài)，它與微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)理論的聯(lián)系更為顯著。分形的自相似特征可以是統(tǒng)計(jì)自相似，構(gòu)成分形也不限于幾何形式，時(shí)間過程也可以，故而與鞅論關(guān)系密切。
分形幾何是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界普遍存在，因此分形幾何學(xué)又被稱為描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何學(xué)建立以后，很快就引起了各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的關(guān)注。不僅在理論上，而且在實(shí)用上分形幾何都具有重要價(jià)值。
基本信息
| 中文名 | 分形 |
| 外文名 | Fractal |
| 定義 | 非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征 |
| 提出者 | 芒德勃羅 |
| 時(shí)間 | 上世紀(jì)70年代 |
| 原因 | 具有不規(guī)則、支離破碎等意義 |
| 提出時(shí)間 | 1973年 |
收起
簡介
“誰不知道熵概念就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人，將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識(shí)?！薄锢韺W(xué)家惠勒
耶魯大學(xué)網(wǎng)站Beno?t B. Mandelbrot個(gè)人主頁
中文文獻(xiàn)中芒德布羅的譯名一直不統(tǒng)一，芒德布羅本人使用的中文名字是“本華·曼德博”，可見于其耶魯大學(xué)網(wǎng)站個(gè)人主頁照片，為豎排繁體漢字手寫體。全國科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)等幾個(gè)學(xué)科術(shù)語的譯名中，使用的都是“芒德布羅”。本華·曼德博（1924－2010，法語原文Beno?t B. Mandelbrot），生于波蘭的立陶宛裔猶太家庭，主要成長教育經(jīng)歷是在法國完成的，后長期在美國工作。如果追求音譯的準(zhǔn)確，還應(yīng)考慮Mandelbrot姓氏最初的來源，這是一個(gè)明顯地具有阿什肯那茲猶太姓氏特征的姓（德語“杏仁”+“面包”）。
分形現(xiàn)已成為應(yīng)用極為廣泛的學(xué)科。芒德布羅個(gè)人風(fēng)格獨(dú)特，對(duì)各類看似“無定形”、“不光滑”的“怪東西”皆富有興趣，也正是這樣他才能最終抽象創(chuàng)立出分形這門學(xué)科。曼德布羅特來訪過中國大陸一次以上，稱中國文字個(gè)個(gè)是圖形，與他路數(shù)相合（芒德布羅本人習(xí)用法語）。中國最早使用分形理論的可能是金屬學(xué)界。
現(xiàn)今人們熟悉的分形的著名實(shí)例，如用“鏤空”辦法制成的康托爾集、謝爾賓斯基三角形(Waclaw Sierpinski,1882-1969，波蘭數(shù)學(xué)家)及門格奶酪或稱門格海綿（Menger，1902-1985，為著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家門格之子），它們的非整數(shù)維數(shù)是漸增的，分別為0.63、1.58、2.72，而它們長度、面積、體積令人吃驚的皆為0。另一個(gè)用“凸起”辦法制作的科赫曲線(H.von Koch,1870-1924，瑞典數(shù)學(xué)家)，其維數(shù)是1.26，它的長度則是無限的，可它圍住的面積卻有限！
分形作為一種數(shù)學(xué)工具，現(xiàn)已應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助使用的各種分析軟件中。
由來
據(jù)芒德布羅教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個(gè)寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時(shí)，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對(duì)應(yīng)的拉丁文動(dòng)詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無規(guī)碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分?jǐn)?shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，芒德布羅一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。芒德布羅是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)的幾何對(duì)象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花繚亂的滿天繁星等。它們的特點(diǎn)都是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對(duì)象都是分形。
探討
幾何學(xué)
分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點(diǎn)：
⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠(yuǎn)距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。
⑵在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當(dāng)然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨機(jī)現(xiàn)象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統(tǒng)的。
什么是分維
在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。
分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個(gè)線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時(shí)，原圖的線度縮小為原來的
，而將原圖等分為若干個(gè)相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為
、
和
個(gè)相似的子圖形，其中的指數(shù)1、2、3，正好等于與圖形相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)維數(shù)。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為
的相似的b個(gè)圖形所組成，有：
由若干條Koch曲線組成的Koch雪花
概況
定義
芒德布羅曾經(jīng)為分形下過兩個(gè)定義：
（1）滿足下式條件
的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數(shù)（或分維數(shù)），dim(A)為其拓?fù)渚S數(shù)。一般說來，Dim(A)不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)。
然而，經(jīng)過理論和應(yīng)用的檢驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容。實(shí)際上，對(duì)于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的定義，正如生物學(xué)中對(duì)“生命”也沒有嚴(yán)格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對(duì)分形的定義也可同樣的處理。
分形一般有以下特質(zhì)：
在任意小的尺度上都能有精細(xì)的結(jié)構(gòu)；太不規(guī)則，以至難以用傳統(tǒng)歐氏幾何的語言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫維數(shù)會(huì)大於拓?fù)渚S數(shù)（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）；有著簡單的遞歸定義。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)，或者說它具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)。
（ii）分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。
（iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統(tǒng)計(jì)的自相似。
（v）在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。
意義
上世紀(jì)80年代初開始的“分形熱”經(jīng)久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領(lǐng)域開展應(yīng)用探索。美國物理學(xué)大師約翰·惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學(xué)上的文化人。由此可見分形的重要性。
中國著名學(xué)者周海中教授認(rèn)為：分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)，對(duì)它的研究也極大地拓展了人類的認(rèn)知疆域。
分形幾何學(xué)作為當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科，它的出現(xiàn)，使人們重新審視這個(gè)世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義。
歷史
Von Koch曲線
Von Koch曲線 此曲線在一維下測(cè)量任意段長度為無窮大（想象中，考慮到能測(cè)量原子的維度）；在二維下測(cè)量面積為零
Sierpinski三角形 此圖形面積為零
這些數(shù)學(xué)怪物困擾數(shù)學(xué)家許多年，直至20世紀(jì)，被美國數(shù)學(xué)家Benoit B. Mandelbrot創(chuàng)立的分形幾何學(xué)(fractal geometry)徹底解決。Mandelbrot提出：我們之所以無法用幾何語言去描述這些數(shù)學(xué)怪物，是因?yàn)槲覀兪窃诰S數(shù)為整數(shù)的空間中，用維數(shù)同樣是整數(shù)的“尺子”對(duì)其丈量、描述；而維數(shù)不應(yīng)該僅僅是整數(shù)，可以是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)；只有在幾何對(duì)象對(duì)應(yīng)的維數(shù)空間中，才能對(duì)該幾何體進(jìn)行合理的整體或局部描述。以上圖的Koch曲線為例，其維數(shù)約為1.26，我們應(yīng)用同樣為1.26維的尺子對(duì)其進(jìn)行描述，比如取該曲線前1/4段作為單位為1的尺子去丈量這個(gè)幾何體，此幾何體長度為4。也正是因其維數(shù)介于1維與2維之間，所以此幾何體在1維下長度為無窮大，2維下面積為零。
Fractal這個(gè)詞是由Mandelbrot于1975創(chuàng)造的，來源于拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即為“不規(guī)則、支離破碎”的物體。1967年，Mandelbrot在美國《Science》雜志上發(fā)表題目為《英國的海岸線有多長》的劃時(shí)代論文，標(biāo)志著其分形思想萌芽的出現(xiàn)。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》，1977年，在美國出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形狀機(jī)遇和維數(shù)》），同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形幾何》），但是這三本書還未對(duì)社會(huì)和學(xué)術(shù)界造成太大的影響。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形幾何》）第二版才得到歐美社會(huì)的廣泛關(guān)注，并迅速形成了“分形熱”，此書也被分形學(xué)界視為分形“圣經(jīng)”。
發(fā)展史
分形學(xué)發(fā)展史上的重要里程碑
1883年 Cantor集合被創(chuàng)造
1895年 Weierstrass曲線被創(chuàng)造，此曲線特點(diǎn)是“處處連續(xù)，點(diǎn)點(diǎn)不可微”
1906年 Koch曲線被創(chuàng)造
1914年 Sierpinski三角形被創(chuàng)造
1919年 描述復(fù)雜幾何體的Hausdorff維問世
1967年 Mandelbrot在《Science》雜志上發(fā)表論文《英國的海岸線有多長》
1975年 Mandelbrot創(chuàng)造“Fractals”一詞
1975年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》
1977年 Mandelbrot在美國出版英文著作《Fractals:Form,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》
1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，并引發(fā)“分形熱”
1991年 英國的Pergman出版社創(chuàng)辦《Chaos，Soliton and Fractal》雜志
1993年 新加坡世界科學(xué)出版社創(chuàng)辦《Fractal》雜志
2003年 在德國的Friedrichroda召開了“第三屆分形幾何和推測(cè)學(xué)國際會(huì)議”
2004年 在加拿大（Canada)的溫哥華（Vancouver)召開了“分形2004年會(huì)議”（8th International Multidisciplinary Conference)
種類
應(yīng)用
科學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合——分形藝術(shù)
分形誕生在以多種概念和方法相互沖擊和融合為特征的當(dāng)代。分形混沌之旋風(fēng)，橫掃數(shù)學(xué)、理化、生物、大氣、海洋以至社會(huì)學(xué)科，在音樂、美術(shù)間也產(chǎn)生了一定的影響。
分形所呈現(xiàn)的無窮玄機(jī)和美感引發(fā)人們?nèi)ヌ剿?。即使您不懂得其中深?yuàn)W的數(shù)學(xué)哲理，也會(huì)為之感動(dòng)。
分形使人們覺悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美上的統(tǒng)一，使昨日枯燥的數(shù)學(xué)不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受；不再僅僅是揭示一類存在，而是一種藝術(shù)創(chuàng)作，分形搭起了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁。
“分形藝術(shù)”與普通“電腦繪畫”不同。普通的“電腦繪畫”概念是用電腦為工具從事美術(shù)創(chuàng)作，創(chuàng)作者要有很深的美術(shù)功底。而“分形藝術(shù)”是純數(shù)學(xué)產(chǎn)物，創(chuàng)作者要有很深的數(shù)學(xué)功底，此外還要有熟練的編程技能。
苑玉峰老師認(rèn)為分形圖像有如下用途：
2、用作包裝材料圖案，效果新穎。
4、應(yīng)用于印染行業(yè)。
劉華杰博士認(rèn)為：
1、將高精度分形圖形具體應(yīng)用在建筑設(shè)計(jì)中，可以考慮將整面墻壁用一幅分形圖裝飾。
2、研究分形建筑陶瓷紋樣、分形紡織紋樣設(shè)計(jì)及其印染工藝。
3、設(shè)計(jì)分形時(shí)裝。
4、將分形圖形用于信息加密防偽。
5、印制分形賀卡、明信片和小臺(tái)歷
軟件
Ultra Fractal
Visions of Chaos
Fraciant
Apophysis
Incendia
Mandelbulb 3D
Jwildfire
MathStudio（手機(jī)軟件）
中醫(yī)
1999年，鄧宇等
陰陽分形集
五行分形集
案例
羅馬花椰菜
我們可以看到羅馬花椰菜（RomanescoBroccoli）一小簇是整個(gè)花簇的一個(gè)分支，而在不同尺度下它們具有自相似的外形。換句話說，較小的分支通過放大適當(dāng)?shù)谋壤罂梢缘玫揭粋€(gè)與整體幾乎完全一致的花簇。因此我們可以說羅馬花椰菜花簇是一個(gè)分形的實(shí)例。
傳統(tǒng)醫(yī)學(xué)
最古老的樸素分形集（幾千年歷史，最簡單的分形集陰陽集），1999年，鄧宇等。
陰陽集，分維
五行集，分維
參考資料
[1]
曼德博在耶魯大學(xué)官網(wǎng)英文主頁 · 耶魯大學(xué)官網(wǎng)[引用日期2013-09-29]
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作者
