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轉(zhuǎn)動慣量是物體繞軸轉(zhuǎn)動時慣性的量度，它是經(jīng)典力學(xué)中一個非常重要的概念。了解物體的轉(zhuǎn)動慣量可以讓我們更好地預(yù)測物體在旋轉(zhuǎn)運動中的行為。 轉(zhuǎn)動慣量的SI單位是kg·m2，表示物體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣性的大小。對于一個質(zhì)點，轉(zhuǎn)動慣量I等于質(zhì)量m與質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸垂直距離r的平方的乘積，即I=mr2。 轉(zhuǎn)動慣量是一個非常重要的物理量，在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如機械工程、航空航天工程等。通過了解物體的轉(zhuǎn)動慣量，我們可以更好地設(shè)計和控制物體的旋轉(zhuǎn)運動，以達(dá)到更好的效果。轉(zhuǎn)動慣量
物體繞軸轉(zhuǎn)動時慣性的量度
轉(zhuǎn)動慣量(Moment of Inertia)，又稱質(zhì)量慣性矩，簡稱慣距，是經(jīng)典力學(xué)中物體繞軸轉(zhuǎn)動時慣性的量度，常用用字母I或J表示。轉(zhuǎn)動慣量的SI單位為kg·m2。對于一個質(zhì)點，I=mr2，其中，m是其質(zhì)量，r是質(zhì)點和轉(zhuǎn)軸的垂直距離。
基本簡介
轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實驗、工程技術(shù)、航天、電力、機械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個重要參量。
電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動慣量不同，可分別用于測量微小電流或電量，譬如檢流計、沖擊電流計等。在發(fā)動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計上，精確地測定轉(zhuǎn)動慣量，都是十分必要的。
對于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體，可以從其外形尺寸、質(zhì)量分布用公式計算出相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。對于幾何形狀簡單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。而對于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過實驗的方法來精確地測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，因而實驗方法顯得更為重要。
動力學(xué)公式
角加速度與合外力矩的關(guān)系：
角動量：
剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能：
張量定義
剛體繞某一點轉(zhuǎn)動的慣性可由慣性張量描述。慣性張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小。為了清晰，這里僅給出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達(dá)式。
設(shè)有一個剛體A，其質(zhì)心為C,剛體A繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量張量
轉(zhuǎn)動慣量張量的力矩方程：
設(shè)剛體A所受到的繞其質(zhì)心C的合力矩矢量為：
轉(zhuǎn)動慣量張量
測定方法
測定剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。實驗室中最常見的是三線擺法，該方法通過扭轉(zhuǎn)運動測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，其特點是物理圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體，如機械零件、電機轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉(zhuǎn)動慣量都可用三線擺測定。這種實驗方法在理論和技術(shù)上有一定的實際意義。
實驗原理
三線擺是在上圓盤的圓周上，沿等邊三角形的頂點對稱地連接在下面的一個較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點上。當(dāng)上、下圓盤水平三線等長時，將上圓盤繞豎直的中心軸線轉(zhuǎn)動一個小角度，借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動。同時，下圓盤的質(zhì)心O將沿著轉(zhuǎn)動軸升降，H是上、下圓盤中心的垂直距離；h是下圓盤在振動時上升的高度；r是上圓盤的半徑；R是下圓盤的半徑；
由于三懸線能力相等，下圓盤運動對于中心軸線是對稱的，僅分析一邊懸線的運動。用L表示懸線的長度，當(dāng)下圓盤扭轉(zhuǎn)一個角度α?xí)r，下圓盤的懸線點移動到，下圓盤上升的高度為，與其他幾何參量的關(guān)系可作如下考慮。
實驗內(nèi)容
2）測量下圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，并計算其不確定度
轉(zhuǎn)動三線擺上方的小圓盤，使其繞自身軸轉(zhuǎn)一角度α，借助線的張力使下圓盤作扭擺運動，而避免產(chǎn)生左右晃動。自己擬定測的方法，使周期的測量不確定度小于其它測量量的不確定度。利用公式求出，并推導(dǎo)出不確定度傳遞公式計算的不確定度。
3）測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量
在下圓盤上放上待測圓環(huán)，注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉(zhuǎn)動軸上，測量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。測量圓環(huán)的質(zhì)量和內(nèi)、外直徑。利用式求出圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。并與理論值進(jìn)行比較，求出相對誤差。
4）驗證平行軸定理
將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來放在下圓盤上，注意使質(zhì)心與下圓盤的質(zhì)心重合。測量轉(zhuǎn)動軸通過圓柱質(zhì)心時，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。然后將兩圓柱對稱地置于下圓盤中心的兩側(cè)。測量此時系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。測量圓柱質(zhì)心到中心轉(zhuǎn)軸的距離計算，并與測量值比較。
相關(guān)定理
轉(zhuǎn)動慣量詳解及物理意義
先說一說轉(zhuǎn)動慣量的由來，先從動能說起。大家都知道動能
把
由于某一個對象物體在運動當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個變量K代替,
平行軸定理
一個物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉(zhuǎn)動同樣可以視為以同樣的角速度繞平行于z軸且通過質(zhì)心的固定軸的轉(zhuǎn)動。也就是說，繞z軸的轉(zhuǎn)動等同于繞過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動與質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的疊加。
利用平行軸定理可知，在一組平行的轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量中，過質(zhì)心的軸對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量最小。垂直軸定理一個平面剛體薄板對于垂直它的平面軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。
表達(dá)式:
轉(zhuǎn)動慣量的量綱為L2M，在SI單位制中，它的單位是
垂直軸定理
一個平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，這就是垂直軸定理。
垂直軸定理的表達(dá)式為：
對于非平面薄板狀的剛體，亦有如下垂直軸定理成立：
剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個質(zhì)點對該軸所形成的轉(zhuǎn)動慣量。由此折算所得的質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為
除以上兩定理外，常用的還有伸展定則。伸展定則闡明，如果將一個物體的任何一點，平行地沿著一支直軸作任意大小的位移，則此物體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量不變。可以想像，將一個物體，平行于直軸地，往兩端拉開。在物體伸展的同時，保持物體任何一點離直軸的垂直距離不變，則伸展定則闡明此物體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量不變。伸展定則通過轉(zhuǎn)動慣量的定義式就可以簡單得到。
計算公式
對于細(xì)桿
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的中點并垂直于桿時，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的端點并垂直于桿時，
式中，m是桿的質(zhì)量，L是桿的長度。
對于圓柱體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時，
對于細(xì)圓環(huán)
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過環(huán)心且與環(huán)面垂直時，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過環(huán)邊緣且與環(huán)面垂直時，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸沿環(huán)的某一直徑時，
式中，m是細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量，R是細(xì)圓環(huán)的半徑。
對于薄圓盤
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直時，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸通過邊緣與盤面垂直時，
式中，m是薄圓盤的質(zhì)量，R是薄圓盤的半徑。
對于空心圓柱
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為空心圓柱的對稱軸時，
對于球殼
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球殼的中心軸時，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球殼的切線時，
式中，m是球殼的質(zhì)量，R是球殼的半徑。
對于實心球體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為球體的切線時，
式中，m是球體的質(zhì)量，R是球體的半徑。
對于立方體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為立方體的中心軸時，
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為立方體的棱邊時，
式中，m是立方體的質(zhì)量，L是立方體的邊長。
對于長方體
當(dāng)回轉(zhuǎn)軸為長方體中心軸時，
式中，m是長方體的質(zhì)量，
例題
已知：一個直徑是80mm的軸，長度為500mm，材料是鋼材。計算一下，當(dāng)在0.1秒內(nèi)使它達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的速度時所需要的力矩？
分析：知道軸的直徑和長度，以及材料，我們可以查到鋼材的密度，進(jìn)而計算出這個軸的質(zhì)量m，由公式
根據(jù)在0.1秒達(dá)到500轉(zhuǎn)/分的角速度，可以算出軸的角加速度
電機軸可以認(rèn)為是圓柱體過軸線，所以：
解得
代入數(shù)據(jù)得 
單位：
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作者
