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柯西不等式（求解不等式的重要工具）

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柯西不等式

求解不等式的重要工具

柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】，因為，正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究過程中發(fā)現(xiàn)的一個不等式，其在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，所以在高中數(shù)學(xué)提升中非常重要，是高中數(shù)學(xué)研究內(nèi)容之一。

基本信息

中文名	柯西不等式
外文名	Cauchy-Buniakowsky-SchwarzInequality
提出者	柯西
提出時間	18世紀(jì)
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué)
推廣者	赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨

收起

提出者簡介

柯西（CauchyAugustin-Louis，1789－1857），法國數(shù)學(xué)家，1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。

他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數(shù)學(xué)寫作上，他被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，以《分析教程》（1821年）和《關(guān)于定積分理論的報告》（1827年）最為著名。不過他并不是所有的創(chuàng)作都質(zhì)量很高，因此他還曾被人批評“高產(chǎn)而輕率”，這點倒是與數(shù)學(xué)王子（高斯）相反。據(jù)說，法國科學(xué)院《會刊》創(chuàng)刊的時候，由于柯西的作品實在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最長的只能夠到四頁。柯西較長的論文因而只得投稿到其它地方。

定義定理

二維形式

公式變形：

等號成立條件：當(dāng)且僅當(dāng)

（即

）時。

一般形式

等號成立條件：

，或

中有一為零。

上述不等式等同于概述圖中的不等式。

一般形式推廣

此推廣形式又稱卡爾松不等式，其表述是：在

矩陣中，各列元素之和的幾何平均不小于各行元素的幾何平均之和。二維形式是卡爾松不等式

時的特殊情況。

向量形式

推廣：

三角形式

等號成立條件：

，且

（即

）。

概率論形式

積分形式

一般形式

設(shè)V是一線性空間，在V上定義了一個二元實函數(shù)，稱為內(nèi)積，記做

，它具有以下性質(zhì)：

1、

2、

3、

4、

，當(dāng)且僅當(dāng)

時

并定義α的長度

，則柯西不等式表述為：

驗證推導(dǎo)

二維形式的證明

等號在且僅在

即

時成立。

三角形式的證明

兩邊開平方得：

向量形式的證明

（只是對二維的說明）

積分形式的證明

構(gòu)造一個二次函數(shù)，

所以該二次函數(shù)與x軸至多一個交點，

，

即

當(dāng)且僅當(dāng)

與

線性相關(guān)時等號成立。

一般形式的證明

剩余幾種情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的證明方法來證。

定理推廣

復(fù)變函數(shù)中的柯西不等式

若函數(shù)

在區(qū)域D及其邊界上解析，

內(nèi)一點，以

為圓心做圓周

，只要

及其內(nèi)部G均被D包含，則有：

其中M是

的最大值。

證明：有柯西積分公式可知

所以

其他不等式

卡爾松不等式

琴生不等式

閔可夫斯基不等式

應(yīng)用例子

柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，技巧以拆常數(shù)，湊常值為主。

巧拆常數(shù)證不等式

例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等，求證：

。

證明：將a+b+c移到不等式的左邊，化成：

由于a、b、c為正數(shù)且互不相等，等號取不到。

附用基本不等式證設(shè)，則所證不等式等價于

。

因為

。所以上式顯然成立。

求某些函數(shù)最值

例：求函數(shù)

的最大值。

函數(shù)的定義域為[5，9]，

，由柯西不等式變形

則

。

函數(shù)僅在

，即

時取到。

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