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反函數
適用于解析幾何學等的函數
定義
設函數
的定義域是D，值域是f(D)。如果對于值域f(D)中的每一個y，在D中有且只有一個x使得
，則按此對應法則得到了一個定義在f(D)上的函數，并把該函數稱為函數的反函數，記為
由該定義可以很快得出函數f的定義域D和值域f(D)恰好就是反函數
的值域和定義域，并且的反函數就是f，也就是說，函數f和互為反函數，即：
例如，函數
的反函數是
。
相對于反函數
來說，原來的函數稱為直接函數。反函數和直接函數的圖像關于直線
對稱。這是因為，如果設(a,b)是的圖像上任意一點，即
。根據反函數的定義，有
，即點(b,a)在反函數的圖像上。而點(a,b)和(b,a)關于直線對稱，由(a,b)的任意性可知f和關于對稱。
于是我們可以知道，如果兩個函數的圖像關于對稱，那么這兩個函數互為反函數。這也可以看做是反函數的一個幾何定義。
若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的（invertible）。
存在性
反函數存在定理
定理：嚴格單調函數必定有嚴格單調的反函數，并且二者單調性相同。
在證明這個定理之前先介紹函數的嚴格單調性。
設的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點
和
，當 
時，有 
，則稱在D上嚴格單調遞增；當時，有
，則稱在D上嚴格單調遞減。
證明：設f在D上嚴格單增，對任一
，有
而由于f的嚴格單增性，對D中任一
；任一
總之能使的x只有一個，根據反函數的定義，f存在反函數。
任取f(D)中的兩點
和
，設<。而因為f存在反函數，所以有 
， 
，且 
。
若此時 
，根據f的嚴格單增性，有
，這和我們假設的
矛盾。
因此 ，即當
時，有
。這就證明了反函數f也是嚴格單增的。
如果f在D上嚴格單減，證明類似。
性質
（1）函數f(x)與它的反函數
圖象關于直線對稱；
（3）一個函數與它的反函數在相應區(qū)間上單調性一致；
（4）大部分偶函數不存在反函數（當函數，定義域是{0} 且
（其中C是常數），則函數f(x)是偶函數且有反函數，其反函數的定義域是{C}，值域為{0} ）。奇函數不一定存在反函數，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。
（5）一段連續(xù)的函數的單調性在對應區(qū)間內具有一致性；
（6）嚴增（減）的函數一定有嚴格增（減）的反函數；
（7）反函數是相互的且具有唯一性；
（8）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）；
反函數的符號
反函數的反函數
為了好看以及對比，我有時會把f(x)寫成f對比，我把我想各位應該很好理解，反函數的反函數當然就是原函數，寫成數學語言就是
?？纯?，這是不是有點像指數的運算法則：
呢？
反函數的導函數
如果函數
在區(qū)間Iy內單調、可導且
不等于零，則它的反函數在區(qū)間
內也可導，且
或。
用自然語言來說就是，反函數的導數，等于直接函數導數的倒數。這話有點繞，不過應該能讀懂，這個似乎就進一步揭示了反函數符號的意義。
反函數的復合函數
數字的基本運算就是加減乘除，而函數也有運算，雖然也有加減乘除，但是屬于函數自己的，就是復合與反函數。我們知道在實數里，x與
的乘積等于1，在函數的復合運算里，也有類似的性質，函數f和g的復合記為
，那么下面的性質成立：
。
這第一個式子已經說明很多問題。實際上，這些都是屬于高等代數的內容，在每一個封閉的系統(tǒng)里，都有一個“單位1”，都有自己的運算法則，函數里的就是
，實數里的就是數字1等等。要深刻理解這些，也只有大家接觸群論以后才會深入理解。這里也只是做點皮毛而已。我將在后面另起一文，介紹函數的“冪”的概念，就如同數的冪一樣。
說明
（1）在函數
中，y是自變量，x是函數，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數，為此我們常常對調函數中的字母x,y，把它改寫成，今后凡無特別說明，函數的反函數都采用這種經過改寫的形式。
⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義. 從反函數的定義可知，對于任意一個函數來說，不一定有反函數，若函數有反函數，那么函數的反函數就是，這就是說，函數與 互為反函數。
⑷ 從映射的定義可知，函數是定義域A到值域C的映射，而它的反函數
是集合C到集合A的映射，因此，函數的定義域正好是它的反函數的值域；函數的值域正好是它的反函數的定義域（如下表）：
函數：；
反函數：；
定義域： A，C；
值域： C，A；
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：
若確定函數的映射f是函數的定義域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射所確定的函數(就叫做函數y=f(x)的反函數. 反函數的定義域、值域分別對應原函數的值域、定義域.。開始的兩個例子：
則它的反函數就可以寫為
，同樣
記為
，則它的反函數為：
.
有時是反函數需要進行分類討論，如：
，需將x進行分類討論：在x大于0時的情況，x小于0的情況，多是要注意的。
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